La solución a esta integral es
[tex]=-\frac{5}{7}\:x^7+\frac{7}{6}\:x^6-\frac{9}{5}\:x^5-\frac{13}{4}\:x^4+5\:x^3-2\:x^2-5x+C[/tex]
Procedimiento
Nota: se anexa documento con el ejercicio completo
[tex]\int \left(-5x^6+7x^5-9x^4-13x^3+15x^2-4x+5\right)dx[/tex]
Aplicamos propiedad de integral de una suma o resta
[tex]\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int \:f\left(x\right)dx\pm \:\int g\left(x\right)dx[/tex]
Tenemos entonces
[tex]\int \left(-5x^6\:\right)dx+\int \left(7x^5\:\right)dx-\int \left(9x^4\:\right)dx-\int \left(13x^3\:\right)dx+\int \left(15x^2\:\right)dx-\int \left(4x\right)dx+\int \left(5\right)dx[/tex]
Sacamos las constantes de cada integral, teniendo en cuenta la siguiente fórmula:
[tex]\int af\left(x\right)dx=a\int f\left(x\right)dx[/tex]
Tenemos entonces
[tex]-5\int \left(x^6\:\right)dx+7\int \left(x^5\:\right)dx-9\int \left(x^4\:\right)dx-13\int \left(x^3\:\right)dx+15\int \left(x^2\:\right)dx-4\int \left(x\right)dx+\int \left(5\right)dx[/tex]
Calculando el valor de cada integral, teniendo en cuenta la formula general
[tex]\int x^a\:dx=\frac{x^{\left(a+1\right)}}{\left(a+1\right)}+C,\:a\ne -1[/tex]
Tenemos entonces
[tex]=-5\left(\frac{x^{6+1}}{6+1}\right)+7\left(\frac{x^{5+1}}{5+1}\right)-9\left(\frac{x^{4+1}}{4+1}\right)-13\left(\frac{x^{3+1}}{3+1}\right)+15\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}\right)-4\left(\frac{x^{1+1}}{1+1}\right)-5x+C[/tex]
[tex]=-\frac{5}{7}\:x^7+\frac{7}{6}\:x^6-\frac{9}{5}\:x^5-\frac{13}{4}\:x^4+\frac{15}{3}\:x^3-\frac{4}{2}\:x^2-5x+C[/tex]
Reducimos y tenemos como resultado
[tex]=-\frac{5}{7}\:x^7+\frac{7}{6}\:x^6-\frac{9}{5}\:x^5-\frac{13}{4}\:x^4+5\:x^3-2\:x^2-5x+C[/tex]
